È il figlio dell’ex portiere polacco Maciej Szczęsny.

Arsenal
Dopo aver, inizialmente, giocato per le giovanili e la squadra riserve dell’Arsenal, Szczęsny fa la sua prima apparizione sulla panchina della prima squadra nella partita di Premier League contro lo Stoke City, del 24 maggio 2009.

All’inizio della stagione 2009-2010 viene promosso in prima squadra con la maglia numero 53. Il 22 settembre 2009 debutta in Coppa di Lega inglese, contro il West Bromwich, senza subire reti. Il 13 dicembre 2010 compie il suo esordio in Premier League nella partita contro il Manchester United a Manchester (1-0).

Il 16 febbraio 2011 debutta in Champions League giocando l’importante incontro Arsenal-Barcellona (2-1). L’8 marzo dello stesso anno gioca il ritorno degli ottavi di Champions a Barcellona, ma al diciottesimo minuto è costretto a uscire per un infortunio alla mano dopo aver parato un tiro da fuori area di Dani Alves: esce sul risultato di 0-0, ma l’Arsenal perderà 3-1 e verrà eliminato dalla competizione. Chiude la stagione con 15 partite disputate in campionato e con l’Arsenal al quarto posto.

Inizia la nuova stagione cambiando il proprio numero di maglia dal 53 al 13. Il 24 agosto 2011 para, sull’1-1, un rigore ad Antonio Di Natale nella partita di ritorno dei preliminari di Champions League vinta per 2-1 sul campo dell’Udinese; grazie anche all’1-0 dell’andata, la sua squadra si qualifica alla fase a gironi. Il 28 agosto l’Arsenal viene battuto per 8-2 dal Manchester United all’Old Trafford: per effetto di questo risultato, Szczęsny diventa il primo portiere dei Gunners, dopo 115 anni, a subire 8 gol in una singola partita. Nonostante ciò, disputa tutte le partite di campionato, in cui l’Arsenal raggiunge la terza posizione. A seguito della partenza di Manuel Almunia, all’inizio della stagione 2012-2013 cambia il suo numero di maglia dal 13 all’1.

Durante la stagione 2013-2014 diventa il primo portiere della squadra con dietro Łukasz Fabiański ed Emiliano Viviano anche grazie alle sue prestazioni di alto livello. Il 17 agosto 2013 in occasione della prima giornata di Premier League contro l’Aston Villa para un rigore a Christian Benteke, che poi sulla ribattuta riesce comunque a ribadire in rete la palla portando il risultato di 1-1; la partita finirà poi 1-3 per i Villans. Il 18 gennaio 2014 nella partita vinta per 2-0 in casa contro il Fulham raggiunge quota 100 presenze in Premier League con la maglia dell’Arsenal. Il 19 febbraio 2014 in occasione della gara d’andata degli ottavi di finale di Champions League giocata all’Emirates Stadium contro il Bayern Monaco, partita finita 2-0 per i bavaresi, riceve la sua prima espulsione nel torneo al minuto 38′ per un fallo commesso su Arjen Robben in area di rigore, rigore poi sbagliato da David Alaba.

Roma
Il 29 luglio 2015 viene ufficializzato il suo trasferimento alla Roma con la formula del prestito.[6] Il giocatore sceglie di indossare la maglia numero 25. Il 22 agosto fa il suo debutto ufficiale nel match pareggiato 1-1 contro il Verona. Autore di prestazioni complessivamente buone seppur altalenanti, conclude la prima stagione in maglia giallorossa con 34 presenze e 34 gol subiti in campionato e con 8 presenze e 20 gol subiti in Champions League.

Il 4 agosto 2016 la Roma ufficializza il rinnovo del prestito fino al termine della stagione sportiva seguente. Per la sua seconda annata in giallorosso decide di indossare la maglia numero 1. Conclude la sua seconda stagione con 38 presenze e 38 gol subiti in campionato, mantenendo la porta inviolata in 14 occasioni – record stagionale – e segnalandosi tra i migliori portieri della Serie A; nelle coppe gioca solo una partita, subendo 3 gol nella sconfitta contro il Porto valida per i preliminari di Champions League, poiché il tecnico Spalletti preferisce dare spazio al portiere brasiliano Alisson Becker.

Juventus
Dopo la fine del prestito fa ritorno nella squadra londinese, per poi passare il 19 luglio 2017 a titolo definitivo alla Juventus per circa 12 milioni di euro. Nella stagione 2017-2018 è il secondo portiere della squadra, dietro al capitano Gianluigi Buffon.

Esordisce con la Juventus il 9 settembre 2017, a 27 anni, giocando titolare nella partita di campionato contro il Chievo vinta 3-0 all’Allianz Stadium. Il 5 dicembre debutta anche in Champions League con la maglia bianconera, nella vittoriosa trasferta contro i greci dell’Olympiakos (risultato finale di 2-0 per i torinesi), ultimo match della fase a gironi. Chiamato in causa con buona frequenza nonostante il ruolo di riserva, offre un rendimento convincente. Al termine della sua prima stagione in bianconero, conquista il suo primo scudetto e la sua prima Coppa Italia.

Nazionale
Viene scelto come portiere titolare per le prime partite di qualificazione agli Europei Under-21 del 2011. Con la nazionale Under-21 disputa in totale 7 gare, subendo 12 reti e mantenendo la porta inviolata in 2 occasioni. Con la nazionale maggiore debutta nel 2009 in amichevole contro il Canada.

L’8 giugno 2012 esordisce al campionato d’Europa 2012, giocando da titolare la sfida inaugurale contro la Grecia; partita in cui viene espulso al 68′, a seguito di un fallo con cui provoca un rigore (poi parato dal suo sostituto Przemysław Tytoń).

Negli anni seguenti viene convocato per il campionato d’Europa 2016 in Francia, e per il campionato del mondo 2018 in Russia, nei quali la Polonia viene eliminata al primo turno.